Measurement of the ratio of partial branching fractions of inclusive <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretc

<jats:p>We present a measurement of the ratio of partial branching fractions of the semileptonic inclusive decays, <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><a:mover accent="true"><a:mi>B</a:mi><a:mo stretchy="false">¯</a:mo></a:mover><a:mo stretchy="false">→</a:mo><a:msub><a:mi>X</a:mi><a:mi>u</a:mi></a:msub><a:mo>ℓ</a:mo><a:mover accent="true"><a:mi>ν</a:mi><a:mo stretchy="false">¯</a:mo></a:mover></a:math> to <h:math xmlns:h="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><h:mover accent="true"><h:mi>B</h:mi><h:mo stretchy="false">¯</h:mo></h:mover><h:mo stretchy="false">→</h:mo><h:msub><h:mi>X</h:mi><h:mi>c</h:mi></h:msub><h:mo>ℓ</h:mo><h:mover accent="true"><h:mi>ν</h:mi><h:mo stretchy="false">¯</h:mo></h:mover></h:math>, where <o:math xmlns:o="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><o:mo>ℓ</o:mo><o:mo>=</o:mo><o:mo stretchy="false">(</o:mo><o:mi>e</o:mi><o:mo>,</o:mo><o:mi>μ</o:mi><o:mo stretchy="false">)</o:mo></o:math>, using the full Belle sample of <s:math xmlns:s="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><s:mn>772</s:mn><s:mo>×</s:mo><s:msup><s:mn>10</s:mn><s:mn>6</s:mn></s:msup><s:mtext> </s:mtext><s:mtext> </s:mtext><s:mi>B</s:mi><s:mover accent="true"><s:mi>B</s:mi><s:mo stretchy="false">¯</s:mo></s:mover></s:math> pairs collected at the <w:math xmlns:w="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><w:mrow><w:mi mathvariant="normal">ϒ</w:mi><w:mrow><w:mo stretchy="false">(</w:mo><w:mn>4</w:mn><w:mi>S</w:mi><w:mo stretchy="false">)</w:mo></w:mrow></w:mrow></w:math> resonance. The identification of inclusive <bb:math xmlns:bb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><bb:mover accent="true"><bb:mi>B</bb:mi><bb:mo stretchy="false">¯</bb:mo></bb:mover><bb:mo stretchy="false">→</bb:mo><bb:msub><bb:mi>X</bb:mi><bb:mi>u</bb:mi></bb:msub><bb:mo>ℓ</bb:mo><bb:mover accent="true"><bb:mi>ν</bb:mi><bb:mo stretchy="false">¯</bb:mo></bb:mover></bb:math> decays is difficult due to the abundance of Cabibbo–Kobayashi–Maskawa-favored <ib:math xmlns:ib="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ib:mover accent="true"><ib:mi>B</ib:mi><ib:mo stretchy="false">¯</ib:mo></ib:mover><ib:mo stretchy="false">→</ib:mo><ib:msub><ib:mi>X</ib:mi><ib:mi>c</ib:mi></ib:msub><ib:mo>ℓ</ib:mo><ib:mover accent="true"><ib:mi>ν</ib:mi><ib:mo stretchy="false">¯</ib:mo></ib:mover></ib:math> events, which share a similar event topology. To minimize dependence on the modeling of these channels, a data-driven description of <pb:math xmlns:pb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><pb:mover accent="true"><pb:mi>B</pb:mi><pb:mo stretchy="false">¯</pb:mo></pb:mover><pb:mo stretchy="false">→</pb:mo><pb:msub><pb:mi>X</pb:mi><pb:mi>c</pb:mi></pb:msub><pb:mo>ℓ</pb:mo><pb:mover accent="true"><pb:mi>ν</pb:mi><pb:mo stretchy="false">¯</pb:mo></pb:mover></pb:math> is employed. The ratio is measured via a two-dimensional fit to the squared four-momentum transfer to the lepton pair, and the charged lepton energy in the <wb:math xmlns:wb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><wb:mi>B</wb:mi></wb:math> meson rest frame, where the latter must be larger than 1 GeV, covering approximately 86% and 78% of the <yb:math xmlns:yb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><yb:mover accent="true"><yb:mi>B</yb:mi><yb:mo stretchy="false">¯</yb:mo></yb:mover><yb:mo stretchy="false">→</yb:mo><yb:msub><yb:mi>X</yb:mi><yb:mi>u</yb:mi></yb:msub><yb:mo>ℓ</yb:mo><yb:mover accent="true"><yb:mi>ν</yb:mi><yb:mo stretchy="false">¯</yb:mo></yb:mover></yb:math> and <fc:math xmlns:fc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><fc:mover accent="true"><fc:mi>B</fc:mi><fc:mo stretchy="false">¯</fc:mo></fc:mover><fc:mo stretchy="false">→</fc:mo><fc:msub><fc:mi>X</fc:mi><fc:mi>c</fc:mi></fc:msub><fc:mo>ℓ</fc:mo><fc:mover accent="true"><fc:mi>ν</fc:mi><fc:mo stretchy="false">¯</fc:mo></fc:mover></fc:math> phase space, respectively. We find <mc:math xmlns:mc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mc:mi mathvariant="normal">Δ</mc:mi><mc:mi mathvariant="script">B</mc:mi><mc:mo stretchy="false">(</mc:mo><mc:mrow><mc:mover accent="true"><mc:mi>B</mc:mi><mc:mo stretchy="false">¯</mc:mo></mc:mover><mc:mo stretchy="false">→</mc:mo><mc:msub><mc:mi>X</mc:mi><mc:mi>u</mc:mi></mc:msub><mc:mo>ℓ</mc:mo><mc:mover accent="true"><mc:mi>ν</mc:mi><mc:mo stretchy="false">¯</mc:mo></mc:mover></mc:mrow><mc:mo stretchy="false">)</mc:mo><mc:mo>/</mc:mo><mc:mi mathvariant="normal">Δ</mc:mi><mc:mi mathvariant="script">B</mc:mi><mc:mo stretchy="false">(</mc:mo><mc:mrow><mc:mover accent="true"><mc:mi>B</mc:mi><mc:mo stretchy="false">¯</mc:mo></mc:mover><mc:mo stretchy="false">→</mc:mo><mc:msub><mc:mi>X</mc:mi><mc:mi>c</mc:mi></mc:msub><mc:mo>ℓ</mc:mo><mc:mover accent="true"><mc:mi>ν</mc:mi><mc:mo stretchy="false">¯</mc:mo></mc:mover></mc:mrow><mc:mo stretchy="false">)</mc:mo><mc:mo>=</mc:mo><mc:mo stretchy="false">(</mc:mo><mc:mn>1.99</mc:mn><mc:mo>±</mc:mo><mc:mn>0.1</mc:mn><mc:msub><mc:mn>7</mc:mn><mc:mrow><mc:mi>stat</mc:mi></mc:mrow></mc:msub><mc:mo>±</mc:mo><mc:mn>0.1</mc:mn><mc:msub><mc:mn>6</mc:mn><mc:mrow><mc:mi>syst</mc:mi></mc:mrow></mc:msub><mc:mo stretchy="false">)</mc:mo><mc:mo>×</mc:mo><mc:msup><mc:mn>10</mc:mn><mc:mrow><mc:mo>−</mc:mo><mc:mn>2</mc:mn></mc:mrow></mc:msup></mc:math>, where the uncertainties are statistical and systematic, respectively. We extract <id:math xmlns:id="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><id:mo stretchy="false">|</id:mo><id:msub><id:mi>V</id:mi><id:mrow><id:mi>u</id:mi><id:mi>b</id:mi></id:mrow></id:msub><id:mo stretchy="false">|</id:mo><id:mo>/</id:mo><id:mo stretchy="false">|</id:mo><id:msub><id:mi>V</id:mi><id:mrow><id:mi>c</id:mi><id:mi>b</id:mi></id:mrow></id:msub><id:mo stretchy="false">|</id:mo></id:math> using two theoretical calculations for the partial decay rate of <od:math xmlns:od="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><od:mover accent="true"><od:mi>B</od:mi><od:mo stretchy="false">¯</od:mo></od:mover><od:mo stretchy="false">→</od:mo><od:msub><od:mi>X</od:mi><od:mi>u</od:mi></od:msub><od:mo>ℓ</od:mo><od:mover accent="true"><od:mi>ν</od:mi><od:mo stretchy="false">¯</od:mo></od:mover></od:math>, finding <vd:math xmlns:vd="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><vd:mrow><vd:mo stretchy="false">(</vd:mo><vd:mo stretchy="false">|</vd:mo><vd:msub><vd:mrow><vd:mi>V</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>u</vd:mi><vd:mi>b</vd:mi></vd:mrow></vd:msub><vd:mo stretchy="false">|</vd:mo><vd:mo>/</vd:mo><vd:mo stretchy="false">|</vd:mo><vd:msub><vd:mrow><vd:mi>V</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>c</vd:mi><vd:mi>b</vd:mi></vd:mrow></vd:msub><vd:mo stretchy="false">|</vd:mo><vd:msup><vd:mrow><vd:mo stretchy="false">)</vd:mo></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>BLNP</vd:mi></vd:mrow></vd:msup><vd:mo>=</vd:mo><vd:mo stretchy="false">(</vd:mo><vd:mn>9.81</vd:mn><vd:mo>±</vd:mo><vd:mn>0.4</vd:mn><vd:msub><vd:mrow><vd:mn>2</vd:mn></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>stat</vd:mi></vd:mrow></vd:msub><vd:mo>±</vd:mo><vd:mn>0.3</vd:mn><vd:msub><vd:mrow><vd:mn>8</vd:mn></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>syst</vd:mi></vd:mrow></vd:msub><vd:mo>±</vd:mo><vd:mn>0.5</vd:mn><vd:msub><vd:mrow><vd:mn>1</vd:mn></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi mathvariant="normal">Δ</vd:mi><vd:mi mathvariant="normal">Γ</vd:mi><vd:mo stretchy="false">(</vd:mo><vd:mover accent="true"><vd:mrow><vd:mi>B</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mo stretchy="false">¯</vd:mo></vd:mrow></vd:mover><vd:mo stretchy="false">→</vd:mo><vd:msub><vd:mrow><vd:mi>X</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>u</vd:mi></vd:mrow></vd:msub><vd:mo>ℓ</vd:mo><vd:mover accent="true"><vd:mrow><vd:mi>ν</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mo stretchy="false">¯</vd:mo></vd:mrow></vd:mover><vd:mo stretchy="false">)</vd:mo></vd:mrow></vd:msub><vd:mo>±</vd:mo><vd:mn>0.2</vd:mn><vd:msub><vd:mrow><vd:mn>0</vd:mn></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi mathvariant="normal">Δ</vd:mi><vd:mi mathvariant="normal">Γ</vd:mi><vd:mo stretchy="false">(</vd:mo><vd:mover accent="true"><vd:mrow><vd:mi>B</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mo stretchy="false">¯</vd:mo></vd:mrow></vd:mover><vd:mo stretchy="false">→</vd:mo><vd:msub><vd:mrow><vd:mi>X</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mi>c</vd:mi></vd:mrow></vd:msub><vd:mo>ℓ</vd:mo><vd:mover accent="true"><vd:mrow><vd:mi>ν</vd:mi></vd:mrow><vd:mrow><vd:mo stretchy="false">¯</vd:mo></vd:mrow></vd:mover><vd:mo stretchy="false">)</vd:mo></vd:mrow></vd:msub><vd:mo stretchy="false">)</vd:mo><vd:mo>×</vd:mo><vd:msup><vd:mrow><vd:mn>10</vd:mn></vd:mrow><vd:mrow><vd:mo>−</vd:mo><vd:mn>2</vd:mn></vd:mrow></vd:msup></vd:mrow></vd:math> and <xe:math xmlns:xe="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><xe:mrow><xe:mo stretchy="false">(</xe:mo><xe:mo stretchy="false">|</xe:mo><xe:msub><xe:mrow><xe:mi>V</xe:mi></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi>u</xe:mi><xe:mi>b</xe:mi></xe:mrow></xe:msub><xe:mo stretchy="false">|</xe:mo><xe:mo>/</xe:mo><xe:mo stretchy="false">|</xe:mo><xe:msub><xe:mrow><xe:mi>V</xe:mi></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi>c</xe:mi><xe:mi>b</xe:mi></xe:mrow></xe:msub><xe:mo stretchy="false">|</xe:mo><xe:msup><xe:mrow><xe:mo stretchy="false">)</xe:mo></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi>GGOU</xe:mi></xe:mrow></xe:msup><xe:mo>=</xe:mo><xe:mo stretchy="false">(</xe:mo><xe:mn>10.06</xe:mn><xe:mo>±</xe:mo><xe:mn>0.4</xe:mn><xe:msub><xe:mrow><xe:mn>3</xe:mn></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi>stat</xe:mi></xe:mrow></xe:msub><xe:mo>±</xe:mo><xe:mspace linebreak="goodbreak"/><xe:mn>0.3</xe:mn><xe:msub><xe:mrow><xe:mn>9</xe:mn></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi>syst</xe:mi></xe:mrow></xe:msub><xe:mo>±</xe:mo><xe:mn>0.2</xe:mn><xe:msub><xe:mrow><xe:mn>3</xe:mn></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi mathvariant="normal">Δ</xe:mi><xe:mi mathvariant="normal">Γ</xe:mi><xe:mo stretchy="false">(</xe:mo><xe:mover accent="true"><xe:mrow><xe:mi>B</xe:mi></xe:mrow><xe:mrow><xe:mo stretchy="false">¯</xe:mo></xe:mrow></xe:mover><xe:mo stretchy="false">→</xe:mo><xe:msub><xe:mrow><xe:mi>X</xe:mi></xe:mrow><xe:mrow><xe:mi>u</xe:mi></xe:mrow></xe:msub><xe:mo>ℓ</xe:mo><xe:mover ac